Приложения в геометрии (теоремы синусов и косинусов)

Приложения в геометрии (теоремы синусов и косинусов)

Теорема синусов: Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углами $A, B, C$ $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ ($R$ — радиус описанной окружности).

Теорема косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ (обобщение теоремы Пифагора).

Примеры:

1. Даны две стороны и угол между ними → найти третью сторону (теорема косинусов).
2. Даны два угла и сторона → найти остальные стороны (теорема синусов).

Связь с Определения тригонометрических функций: В прямоугольном треугольнике теорема косинусов превращается в $a^2 = b^2 + c^2$, так как $\cos 90^{\circ} = 0$.

Задача: В треугольнике $a = 7$, $b = 8$, угол $C = 60^{\circ}$. Найдите $c$ и углы $A$, $B$.

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57 \Rightarrow c = \sqrt{57}$$

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c} \Rightarrow \sin A = \frac{7 \cdot \sin 60^{\circ}}{\sqrt{57}} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{57}} \approx 0.803 \Rightarrow A \approx 53.4^{\circ},\ B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 53.4^{\circ} = 66.6^{\circ}$$