← На главную

Задачи на оптимизацию с тригонометрией

Пример 1. Найти максимальную площадь прямоугольника, вписанного в полуокружность радиуса $R$.

Решение: Угол при центре $\theta$, стороны $R \cos \theta$ и $R \sin \theta$ → площадь

$$S = R^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{R^2}{2} \sin 2\theta$$

Максимум при $\sin 2\theta = 1$ → $2\theta = 90^{\circ}$ → $\theta = 45^{\circ}$ → $S_{\max} = \dfrac{R^2}{2}$.

Пример 2. Определить минимальную длину лестницы, достающей от пола до стены через ящик высотой $h$ и шириной $w$.

Решение: Угол наклона $\alpha$, длина

$$L(\alpha) = \frac{h}{\sin \alpha} + \frac{w}{\cos \alpha}$$

Производная:

$$L'(\alpha) = -\frac{h \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{w \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}$$

Приравниваем к нулю:

$$\frac{w \sin \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{h \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \Rightarrow w \sin^3 \alpha = h \cos^3 \alpha \Rightarrow \tan^3 \alpha = \frac{h}{w} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\sqrt[3]{\frac{h}{w}}\right)$$

Используемые инструменты:

Задача для самостоятельного решения: На какой угол нужно отклонить луч света, чтобы пройти через щель шириной $d$ и получить максимальную освещённость на экране? (Освещённость пропорциональна $\sin 2\theta$.)