Производная и её приложения
Производная и её приложения
Определение производной: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Производная — мгновенная скорость изменения функции.
Физический смысл: Если $x(t)$ — координата, то $x'(t)$ — скорость, $x''(t)$ — ускорение.
Геометрический смысл: $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$.
---
Основные правила дифференцирования
- Постоянная: $(C)' = 0$
- Степень: $(x^n)' = n x^{n-1}$
- Сумма: $(u+v)' = u' + v'$
- Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$
- Частное: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- Сложная функция: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Таблица производных элементарных функций:
| Функция | Производная |
|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
---
Связь с исследованием функций
Возрастание/убывание:
- Если $f'(x) > 0$ на интервале → $f$ возрастает.
- Если $f'(x) < 0$ → $f$ убывает.
Экстремумы: Необходимое условие: $f'(x) = 0$. Достаточное: смена знака производной.
Пример: $f(x) = x^3 - 3x$ → $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ Критические точки: $x = -1$ (максимум, $+ \to -$) и $x = 1$ (минимум, $- \to +$).
---
Приложения в реальных задачах
1. Физика (гармонические колебания)
Для $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ (см. Гармонические колебания (физика)): $$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$$ $$a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t)$$
2. Оптимизация (связь с тригонометрией)
В Задачи на оптимизацию с тригонометрией минимизируем $L(\alpha) = \dfrac{h}{\sin \alpha} + \dfrac{w}{\cos \alpha}$:
$$L'(\alpha) = -\frac{h \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{w \sin \alpha}{\cos^2 \alpha} = 0 \Rightarrow \tan^3 \alpha = \frac{h}{w}$$
3. Экономика / биология
Предельные издержки, скорость роста популяции, оптимальная доза лекарства — задачи на экстремум.
---
Алгоритм решения задачи на оптимизацию
- Выразить оптимизируемую величину $Q$ через одну переменную.
- Найти $Q'(x)$.
- Решить $Q'(x)=0$ → кандидаты на экстремум.
- Проверить тип экстремума (вторая производная или знаки).
- Вычислить значение $Q$.
Пример: Из картона $30 \times 30$ см вырезают угловые квадраты и складывают коробку. Какой вырез даст максимум объёма?
$$V(x) = x(30-2x)^2$$ $$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)[(30-2x) - 4x] = (30-2x)(30-6x)$$ $$V'(x)=0 \Rightarrow x=15 \ (\text{не подходит})\ \text{или}\ x=5$$ $$V(5)=5 \cdot 20^2 = 2000 \ \text{см}^3 \text{ — максимум}$$
---
Связь с другими заметками:
- Гармонические колебания (физика) — физический смысл производной.
- Задачи на оптимизацию с тригонометрией — применение дифференцирования.
- Графики тригонометрических функций — экстремумы, касательные.
Задание: $f(x) = 2\sin(3x) + x$ на $[0, 2\pi]$. Найдите промежутки возрастания/убывания, экстремумы.