Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшее уравнение: $\sin x = a$, $|a| \le 1$ → $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Пример: $\sin x = \dfrac{1}{2}$ → $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Методы решения:

• Сведение к квадратному (через Основные тригонометрические тождества).
• Замена $t = \sin x$ или $t = \cos x$.
• Однородные уравнения (деление на $\cos^2 x$).

Неравенства решаются с помощью Единичная окружность и радианная мера или Графики тригонометрических функций.

Пример неравенства: $\cos x > \dfrac{1}{2}$ на $[0, 2\pi]$ → $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{3}\right) \cup \left(\dfrac{5\pi}{3}, 2\pi\right]$.

Связь с задачами: Используется в Задачи на оптимизацию с тригонометрией и в физике при нахождении моментов времени в Гармонические колебания (физика).